DEFINICION
La palabra conjunto
generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un
conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en
palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es
decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre
sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas,
figuras, ideas y conceptos.
En matemáticas el
concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de
este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de
objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de
elemento y pertenencia.
La característica
esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un
objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo
si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece
al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras
musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas
puedan incluir distintas obras en el conjunto.
Los objetos que
forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y,
z. que se puede escribir así:
{ a, b, c, ..., x, y,
z}
Como se muestra el conjunto
se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,).
El detallar a todos
los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma
tabular, extensión o enumeración de los
elementos.
Dos conjuntos son
iguales si tienen los mismos elementos, por
ejemplo:
El conjunto { a, b, c
} también puede escribirse:
{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }
En teoría de
conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:
El conjunto { b, b,
b, d, d } simplemente será { b, d }.
MEMBRESIA
Los conjuntos se
denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:
A={ a, c, b }
B={ primavera,
verano, otoño, invierno }
El símbolo Î indicará que un
elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar
que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con
una raya inclinada / quedando el símbolo
como Ï .
Ejemplo:
Sea B={ a, e, i, o, u
}, a Î B y c Ï B
SUBCONJUNTO
Sean los conjuntos
A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }
En este caso decimos
que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B
es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.
Por lo tanto si B es
un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë .
Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.
UNIVERSO O CONJUNTO
UNIVERSAL
El conjunto que
contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de
conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se
denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).
Por ejemplo si solo
queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:
U={ 1, 2, 3, 4, 5 }
Forma alternativa
para indicar conjuntos de gran importancia:
- Conjunto de números naturales (enteros mayores
que cero) representados por la letra N donde
UNION
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:
A È B = { x/x Î A ó x Î B }
Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
INTERSECCION
Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }
Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:
A Ç B = { x/x Î A y x Î B }
Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.
Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }
CONJUNTO VACIO
Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .
Por ejemplo:
Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.
A Ç B= { }
El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:
A Ç B=Æ
CONJUNTOS AJENOS
Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:
Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.
COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:
A'={ x Î U/x y x Ï A }
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U
El complemento de A estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }
DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:
A - B={ x/x Î A ; X Ï B }
Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y
B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }
En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los elementos que están en B y no en A.
DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.
La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje.
Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra como:
Los conjuntos se representan por medio de dibujos dentro del rectángulo, los aspectos de interés se resaltan sombreando las áreas respectivas. En el caso de este curso las indicaremos por medio de un color azul por ejemplo:
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